Иван Гаврилович Рыков родился в городе Скопине в семье мещан Гавриилы Алексеевича и Прасковьи Никитичны Оводовых. Мать рано умерла, осиротевшего мальчика усыновил родственник, купец Андрей Федорович Рыков, давший ему свою фамилию. Андрей Федорович Рыков занимался хлебной торговлей, свои капитал, недвижимость и землии завещал Ивану Гавриловичу.

Иван Гаврилович Рыков в 1857 году состоял городским головой Скопина, а с 1863 по 1882 год – директором Скопинского городского общественного банка. Общественный банк в городе Скопине был учрежден 31 января 1863 года. Основной капитал Банка был сформирован в размере 10 103 рубля 86 коп. из городских доходов. Было предусмотрено, что одна третья часть прибыли Банка «отделяется в доход города, другая - на устройство общественного призрения и предметы благотворительности, а третья присоединяется к основному капиталу Банка».
Стараниями Ивана Гавриловича Рыкова как директора Общественного банка были открыты приют, в котором призирались 50 мальчиков и 47 девочек, первая публичная библиотека, бесплатная больница для бедных, прогимназия, шестиклассное реальное училище. Бедным ученикам выдавались пособия, из прибыли Банка учреждались стипендии в учебных заведениях Санкт-Петербурга и Москвы. Много средств тратилось на ремонт всех церквей города и их внутреннее убранство.

В 1882 году Скопинский городской банк потерпел крах. Слушание дела Скопинского общественного банка проходило в ноябре-декабре 1884 года в Московском окружном суде. Репортажи с процесса для «Петербургской газеты» писал молодой А.П. Чехов («Дело Рыкова и К»). Иван Гаврилович Рыков был осуждён и сослан на поселение в Восточную Сибирь, умер в 1897 году в красноярской городской лечебнице.